Làm Thế Nào Để Tìm Tổng Quãng Đường Đã Đi Được?

Bạn đang muốn tìm hiểu cách tính tổng quãng đường di chuyển? Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết để giải quyết vấn đề này một cách dễ dàng. Hãy cùng click2register.net khám phá các phương pháp tính toán và đăng ký trực tuyến để hiểu rõ hơn về chuyển động và quãng đường đi được.

1. Câu Hỏi Thúc Đẩy

Nếu chúng ta biết vận tốc của một vật thể chuyển động tại mọi thời điểm trong một khoảng thời gian nhất định, liệu chúng ta có thể xác định quãng đường mà vật thể đó đã đi được trong khoảng thời gian đó không?
Bài toán tìm quãng đường đã đi liên quan như thế nào đến việc tìm diện tích dưới một đường cong nhất định?
Antiderivative của một hàm số có ý nghĩa gì và tại sao quá trình này lại liên quan đến việc tìm quãng đường đã đi?
Nếu vận tốc âm, điều này ảnh hưởng như thế nào đến bài toán tìm quãng đường đã đi?

2. Ôn Lại Về Vận Tốc Và Tốc Độ

Trong phần đầu tiên, chúng ta đã xem xét một vật thể chuyển động với vị trí đã biết tại thời điểm (t), cụ thể là một quả bóng tennis được ném lên không trung với chiều cao (s) (tính bằng feet) tại thời điểm (t) (tính bằng giây) được cho bởi (s(t) = 64 – 16(t-1)^2). Chúng ta đã nghiên cứu vận tốc trung bình của quả bóng trên một khoảng thời gian ([a,b]), được tính bằng thương sai phân (frac{s(b)-s(a)}{b-a}). Chúng ta thấy rằng có thể xác định vận tốc tức thời của quả bóng tại thời điểm (t) bằng cách lấy đạo hàm của hàm vị trí:

[ s'(t) = lim_{h to 0} frac{s(t+h)-s(t)}{h}text{.} nonumber ]

Do đó, nếu hàm vị trí của nó khả vi, chúng ta có thể tìm vận tốc của một vật thể chuyển động tại bất kỳ thời điểm nào.

Từ nghiên cứu về vị trí và vận tốc, chúng ta đã học được rất nhiều điều. Chúng ta có thể sử dụng đạo hàm để tìm tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số tại bất kỳ điểm nào trong miền xác định, để tìm nơi hàm số tăng hoặc giảm, nơi nó lõm lên hoặc lõm xuống và để xác định vị trí cực trị tương đối. Phần lớn các bài toán và ứng dụng mà chúng ta đã xem xét đều liên quan đến tình huống mà một hàm số cụ thể đã được biết và chúng ta tìm kiếm thông tin dựa trên việc biết tốc độ thay đổi tức thời của hàm số đó. Đối với tất cả các nhiệm vụ này, chúng ta tiến hành từ một hàm số (f) đến đạo hàm của nó, (f’), và sử dụng ý nghĩa của đạo hàm để giúp chúng ta trả lời các câu hỏi quan trọng.

Chúng ta cũng đã gặp phải tình huống ngược lại, khi chúng ta biết đạo hàm của một hàm số, (f’), và cố gắng suy ra thông tin về (f). Chúng ta sẽ tập trung sự chú ý của mình vào Chương 4 về bài toán này: nếu chúng ta biết tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số, liệu chúng ta có thể tìm thấy chính hàm số đó không? Chúng ta bắt đầu với một câu hỏi cụ thể hơn: nếu chúng ta biết vận tốc tức thời của một vật thể chuyển động dọc theo một đường thẳng, liệu chúng ta có thể tìm thấy hàm vị trí tương ứng của nó không?

2.1. Hoạt Động Xem Trước

Giả sử một người đang đi bộ dọc theo một con đường thẳng dài và đi bộ với tốc độ không đổi là 3 dặm một giờ.

Trên các trục bên trái được cung cấp trong Hình (PageIndex{1}), hãy phác thảo một đồ thị được gắn nhãn của hàm vận tốc (v(t) = 3).

Alt text: Đồ thị vận tốc không đổi theo thời gian, vận tốc = 3 dặm/giờ.

Hình (PageIndex{1}). Bên trái, các trục để vẽ đồ thị (y = v(t)); bên phải, để vẽ đồ thị (y = s(t)). Lưu ý rằng mặc dù tỷ lệ trên hai bộ trục là như nhau, nhưng các đơn vị trên các trục bên phải khác với các đơn vị trên các trục bên trái. Các trục bên phải sẽ được sử dụng trong câu hỏi (d).
Người đó đã đi được bao xa trong hai giờ? Khoảng cách này liên quan như thế nào đến diện tích của một vùng nhất định dưới đồ thị của (y = v(t))?
Tìm một công thức đại số, (s(t)), cho vị trí của người đó tại thời điểm (t), giả sử rằng (s(0) = 0). Giải thích suy nghĩ của bạn.
Trên các trục bên phải được cung cấp trong Hình (PageIndex{1}), hãy phác thảo một đồ thị được gắn nhãn của hàm vị trí (y = s(t)).
Với những giá trị nào của (t) thì hàm vị trí (s) tăng? Giải thích tại sao đây là trường hợp bằng cách sử dụng thông tin liên quan về hàm vận tốc (v).

3. Diện Tích Dưới Đồ Thị Hàm Vận Tốc

Trong Hoạt động Xem trước (PageIndex{1}), chúng ta đã học được rằng khi vận tốc của một vật thể chuyển động là không đổi (và dương), diện tích dưới đường cong vận tốc trên một khoảng thời gian cho chúng ta biết quãng đường mà vật thể đó đã đi được.

Alt text: Đồ thị vận tốc không đổi và không đổi theo thời gian, minh họa diện tích dưới đường cong.

Hình (PageIndex{2}) bên trái cho thấy vận tốc của một vật thể chuyển động với vận tốc 2 dặm một giờ trong khoảng thời gian ([1,1.5]). Diện tích (A_1) của vùng được tô bóng dưới (y = v(t)) trên ([1,1.5]) là

[ A_1= 2 , frac{text{dặm} }{text{giờ} } cdot frac{1}{2} , text{giờ} = 1 , text{dặm}text{.} nonumber ]

Kết quả này đơn giản là sự thật rằng khoảng cách bằng tốc độ nhân với thời gian, với điều kiện tốc độ là không đổi. Do đó, nếu (v(t)) là không đổi trên khoảng thời gian ([a,b]), quãng đường đã đi trên ([a,b]) bằng với diện tích (A) được cho bởi

[ A = v(a) (b-a) = v(a) Delta ttext{,} nonumber ]

trong đó (Delta t) là sự thay đổi trong (t) trên khoảng thời gian. (Vì vận tốc là không đổi, chúng ta có thể sử dụng bất kỳ giá trị nào của (v(t)) trên khoảng thời gian ([a,b]), chúng ta chỉ cần chọn (v(a)), giá trị tại điểm cuối bên trái của khoảng thời gian.)

Tình huống trở nên phức tạp hơn khi hàm vận tốc không phải là hằng số. Nhưng trên các khoảng thời gian tương đối nhỏ, nơi (v(t)) không thay đổi nhiều, chúng ta có thể sử dụng nguyên tắc diện tích để ước tính quãng đường đã đi. Đồ thị ở bên phải trong Hình (PageIndex{2}) cho thấy một hàm vận tốc không đổi. Trên khoảng thời gian ([1,1.5]), vận tốc thay đổi từ (v(1) = 2.5) xuống (v(1.5) approx 2.1). Một ước tính cho quãng đường đã đi là diện tích của hình chữ nhật được vẽ,

[ A_2 = v(1) Delta t = 2.5 , frac{text{dặm} }{text{giờ} } cdot frac{1}{2} , text{giờ} = 1.25 , text{dặm}text{.} nonumber ]

Lưu ý rằng vì (v) đang giảm trên ([1,1.5]), (A_2 = 1.25) là một ước tính quá cao về quãng đường thực tế đã đi.

Để ước tính diện tích dưới hàm vận tốc không đổi này trên một khoảng thời gian rộng hơn, chẳng hạn như ([0,3]), một hình chữ nhật sẽ không cho một phép tính gần đúng tốt. Thay vào đó, chúng ta có thể sử dụng sáu hình chữ nhật được vẽ trong Hình (PageIndex{3}), tìm diện tích của mỗi hình chữ nhật và cộng tổng lại. Rõ ràng là có những lựa chọn cần đưa ra và các vấn đề cần hiểu: Chúng ta nên sử dụng bao nhiêu hình chữ nhật? Chúng ta nên đánh giá hàm số ở đâu để quyết định chiều cao của hình chữ nhật? Điều gì xảy ra nếu vận tốc đôi khi âm? Chúng ta có thể tìm thấy diện tích chính xác dưới bất kỳ đường cong không đổi nào không?

Alt text: Ước tính diện tích dưới đường cong bằng sáu hình chữ nhật.

Chúng ta sẽ nghiên cứu những câu hỏi này và nhiều câu hỏi khác trong những phần sau; hiện tại chỉ cần quan sát rằng ý tưởng đơn giản về diện tích của một hình chữ nhật cho chúng ta một công cụ mạnh mẽ để ước tính quãng đường đã đi từ một hàm vận tốc, cũng như để ước tính diện tích dưới một đường cong tùy ý.

3.1. Hoạt Động

Giả sử một người đang đi bộ theo cách mà vận tốc của cô ấy thay đổi một chút theo thông tin được cung cấp trong Bảng (PageIndex{1}) và đồ thị được cung cấp trong Hình (PageIndex{4}).

(t)	(v(t))
(0.00)	(1.500)
(0.25)	(1.789)
(0.50)	(1.938)
(0.75)	(1.992)
(1.00)	(2.000)
(1.25)	(2.008)
(1.50)	(2.063)
(1.75)	(2.211)
(2.00)	(2.500)

Bảng (PageIndex{1}). Dữ liệu vận tốc cho người đi bộ.

Alt text: Đồ thị vận tốc biến thiên theo thời gian.

Hình (PageIndex{4}). Đồ thị của (y = v(t)).

Sử dụng lưới, đồ thị và dữ liệu đã cho một cách thích hợp, ước tính quãng đường mà người đi bộ đã đi được trong khoảng thời gian hai giờ từ (t = 0) đến (t = 2). Bạn nên sử dụng các khoảng thời gian có chiều rộng (Delta t = 0.5), chọn một cách để sử dụng hàm một cách nhất quán để xác định chiều cao của mỗi hình chữ nhật để tính gần đúng quãng đường đã đi.
Làm thế nào bạn có thể có được một phép tính gần đúng tốt hơn về quãng đường đã đi trên ([0,2])? Giải thích, và sau đó tìm ước tính mới này.
Bây giờ giả sử bạn biết rằng (v) được cho bởi (v(t) = 0.5t^3-1.5t^2+1.5t+1.5). Hãy nhớ rằng (v) là đạo hàm của hàm vị trí của người đi bộ, (s). Tìm một công thức cho (s) sao cho (s’ = v).
Dựa trên công việc của bạn trong (c), giá trị của (s(2) – s(0)) là gì? Ý nghĩa của đại lượng này là gì?

4. Hai Cách Tiếp Cận: Diện Tích Và Antiderivative

Khi vận tốc của một vật thể chuyển động là dương, vị trí của vật thể đó luôn tăng. (Chúng ta sẽ sớm xem xét các tình huống mà vận tốc là âm; hiện tại, chúng ta tập trung vào tình huống mà vận tốc luôn dương.) Chúng ta đã thiết lập rằng bất cứ khi nào (v) là không đổi trên một khoảng thời gian, quãng đường đã đi chính xác là diện tích dưới đường cong vận tốc. Khi (v) không phải là hằng số, chúng ta có thể ước tính tổng quãng đường đã đi bằng cách tìm diện tích của các hình chữ nhật xấp xỉ diện tích dưới đường cong vận tốc.

Do đó, chúng ta thấy rằng việc tìm diện tích giữa một đường cong và trục hoành là một bài tập quan trọng: bên cạnh việc là một câu hỏi hình học thú vị, nếu đường cong cho biết vận tốc của một vật thể chuyển động, diện tích dưới đường cong cho chúng ta biết quãng đường chính xác đã đi trên một khoảng thời gian. Chúng ta có thể ước tính diện tích này nếu chúng ta có một đồ thị hoặc một bảng giá trị cho hàm vận tốc.

Trong Hoạt động (PageIndex{1})2, chúng ta đã gặp một cách tiếp cận thay thế để tìm quãng đường đã đi. Nếu (y = v(t)) là một công thức cho vận tốc tức thời của một vật thể chuyển động, thì (v) phải là đạo hàm của hàm vị trí của vật thể đó, (s). Nếu chúng ta có thể tìm một công thức cho (s(t)) từ công thức cho (v(t)), chúng ta sẽ biết vị trí của vật thể tại thời điểm (t), và sự thay đổi vị trí trong một khoảng thời gian cụ thể cho chúng ta biết quãng đường đã đi trên khoảng thời gian đó.

Ví dụ: hãy xem xét tình huống từ Hoạt động Xem trước (PageIndex{1}), trong đó một người đang đi bộ dọc theo một đường thẳng với hàm vận tốc (v(t) = 3) dặm/giờ.

Alt text: Đồ thị hàm vận tốc và vị trí, minh họa mối quan hệ giữa chúng.

Trên đồ thị bên trái của hàm vận tốc trong Hình (PageIndex{5}), chúng ta thấy mối quan hệ giữa diện tích và quãng đường đã đi,

[ A= 3 , frac{text{dặm} }{text{giờ} } cdot 1.25 , text{giờ} = 3.75 , text{dặm}text{.} nonumber ]

Ngoài ra, chúng ta quan sát thấy rằng nếu (s(t) = 3t), thì (s'(t) = 3), vì vậy (s(t) = 3t) là hàm vị trí có đạo hàm là hàm vận tốc đã cho, (v(t) = 3). Các vị trí tương ứng của người đó tại thời điểm (t = 0.25) và (t = 1.5) là (s(1.5) = 4.5) và (s(0.25) = 0.75), và do đó

[ s(1.5) – s(0.25) = 4.5 – 0.75 = 3.75 text{dặm}text{.} nonumber ]

Ở đây chúng ta đang đưa ra giả định ngầm định rằng (s(0) = 0); chúng ta sẽ thảo luận về các khả năng khác nhau cho các giá trị của (s(0)) trong nghiên cứu tiếp theo.

Đây là sự thay đổi vị trí của người đó trên ([0.25,1.5]), đó chính xác là quãng đường đã đi. Trong ví dụ này, có những ý tưởng và kết nối sâu sắc mà chúng ta sẽ nghiên cứu trong suốt Chương 4.

Hiện tại, hãy quan sát rằng nếu chúng ta biết một công thức cho hàm vận tốc (v), thì việc tìm một hàm (s) thỏa mãn (s’ = v) có thể rất hữu ích. Chúng ta nói rằng (s) là một antiderivative của (v). Nói chung hơn, chúng ta có định nghĩa chính thức sau.

4.1. Định Nghĩa

Nếu (g) và (G) là các hàm số sao cho (G’ = g), chúng ta nói rằng (G) là một antiderivative của (g).

Ví dụ: nếu (g(x) = 3x^2 + 2x), (G(x) = x^3 + x^2) là một antiderivative của (g), vì (G'(x) = g(x)). Lưu ý rằng chúng ta nói “một” antiderivative của (g) thay vì “antiderivative” của (g), vì (H(x) = x^3 + x^2 + 5) cũng là một hàm có đạo hàm là (g), và do đó (H) là một antiderivative khác của (g).

4.2. Hoạt Động

Một quả bóng được ném thẳng đứng theo cách mà hàm vận tốc của nó được cho bởi (v(t) = 32 – 32t), trong đó (t) được đo bằng giây và (v) tính bằng feet trên giây. Giả sử rằng hàm này hợp lệ cho (0 le t le 2).

a. Với những giá trị nào của (t) thì vận tốc của quả bóng là dương? Điều này cho bạn biết gì về chuyển động của quả bóng trên khoảng thời gian này?

b. Tìm một antiderivative, (s), của (v) thỏa mãn (s(0) = 0).

c. Tính giá trị của (s(1) – s(frac{1}{2})). Ý nghĩa của giá trị bạn tìm thấy là gì?

d. Sử dụng đồ thị của (y = v(t)) được cung cấp trong Hình (PageIndex{6}), tìm diện tích chính xác của vùng dưới đường cong vận tốc giữa (t = frac{1}{2}) và (t = 1). Ý nghĩa của giá trị bạn tìm thấy là gì?

Alt text: Đồ thị hàm vận tốc của quả bóng ném lên.

Hình (PageIndex{6}). Đồ thị của (y = v(t)).

e. Trả lời các câu hỏi tương tự như trong (c) và (d) nhưng thay vào đó sử dụng khoảng thời gian ([0,1]).

f. Giá trị của (s(2) – s(0)) là gì? Kết quả này cho bạn biết gì về đường bay của quả bóng? Giá trị này được kết nối như thế nào với đồ thị đã cung cấp của (y = v(t))? Giải thích.

5. Khi Vận Tốc Âm

Giả định rằng vận tốc của nó là dương trên một khoảng thời gian nhất định đảm bảo rằng chuyển động của một vật thể luôn theo một hướng duy nhất, và do đó đảm bảo rằng sự thay đổi vị trí của nó giống như quãng đường nó đi được. Như chúng ta đã thấy trong Hoạt động (PageIndex{3}), có những thiết lập tự nhiên trong đó vận tốc của một vật thể là âm và chúng ta cũng muốn hiểu kịch bản này.

Xem xét một ví dụ đơn giản, trong đó một người phụ nữ đi dạo trên bãi biển dọc theo một đoạn bờ biển rất thẳng chạy theo hướng đông-tây. Chúng ta giả định rằng vị trí ban đầu của cô ấy là (s(0) = 0), và hàm vị trí của cô ấy tăng lên khi cô ấy di chuyển về phía đông từ vị trí bắt đầu của mình. Ví dụ, (s = 1) dặm biểu thị một dặm về phía đông của vị trí bắt đầu, trong khi (s = -1) cho chúng ta biết cô ấy ở một dặm về phía tây so với nơi cô ấy bắt đầu đi bộ trên bãi biển.

Bây giờ giả sử cô ấy đi bộ theo cách sau. Từ khi bắt đầu tại (t = 0), cô ấy đi bộ về phía đông với tốc độ không đổi là (3) dặm/giờ trong 1,5 giờ. Sau 1,5 giờ, cô ấy dừng đột ngột và bắt đầu đi bộ về phía tây với tốc độ không đổi là (4) dặm/giờ và làm như vậy trong 0,5 giờ. Sau đó, sau một lần dừng và bắt đầu đột ngột khác, cô ấy tiếp tục đi bộ với tốc độ không đổi là (3) dặm/giờ về phía đông trong thêm một giờ nữa. Tổng quãng đường cô ấy đã đi được trong khoảng thời gian từ (t = 0) đến (t = 3) là bao nhiêu? Tổng sự thay đổi vị trí của cô ấy trong khoảng thời gian đó là bao nhiêu?

Có thể trả lời những câu hỏi này mà không cần tính toán vì vận tốc là không đổi trên mỗi khoảng thời gian. Từ (t = 0) đến (t = 1.5), cô ấy đã đi được

[ D_{[0,1.5]} = 3 text{dặm trên giờ} cdot 1.5 text{giờ} = 4.5 text{dặm}text{.} nonumber ]

Trên (t = 1.5) đến (t = 2), quãng đường đã đi là

[ D_{[1.5,2]} = 4 text{dặm trên giờ} cdot 0.5 text{giờ} = 2 text{dặm}text{.} nonumber ]

Cuối cùng, trong giờ cuối cùng, cô ấy đã đi bộ

[ D_{[2,3]} = 3 text{dặm trên giờ} cdot 1 text{giờ} = 3 text{dặm}text{,} nonumber ]

vì vậy tổng quãng đường cô ấy đã đi là

[ D = D{[0,1.5]} + D{[1.5,2]} + D_{[2,3]} = 4.5 + 2 + 3 = 9.5 text{dặm}text{.} nonumber ]

Vì vận tốc cho (1.5 lt t lt 2) là (v = -4), cho biết chuyển động theo hướng tây, người phụ nữ đầu tiên đi bộ 4,5 dặm về phía đông, sau đó 2 dặm về phía tây, tiếp theo là 3 dặm nữa về phía đông. Do đó, tổng sự thay đổi vị trí của cô ấy là

[ text{sự thay đổi vị trí} = 4.5 – 2 + 3 = 5.5 text{dặm}text{.} nonumber ]

Chúng ta đã có thể trả lời những câu hỏi này khá dễ dàng và nếu chúng ta nghĩ về bài toán bằng đồ thị, chúng ta có thể khái quát hóa giải pháp của mình cho một thiết lập phức tạp hơn khi vận tốc không phải là hằng số và có thể âm.

Alt text: Đồ thị vận tốc âm và vị trí theo thời gian.

Trong Hình (PageIndex{7}), chúng ta thấy các khoảng cách mà chúng ta đã tính toán có thể được xem là diện tích như thế nào: (A_1 = 4.5) đến từ việc nhân tốc độ với thời gian ((3 cdot 1.5)), cũng như (A_2) và (A_3). Nhưng trong khi (A_2) là một diện tích (và do đó là dương), vì hàm vận tốc là âm cho (1.5 lt t lt 2), diện tích này có một dấu âm liên quan đến nó. Diện tích âm phân biệt giữa quãng đường đã đi và sự thay đổi vị trí.

Quãng đường đã đi là tổng của các diện tích,

[ D = A_1 + A_2 + A_3 = 4.5 + 2 + 3 = 9.5 text{dặm}text{.} nonumber ]

Nhưng sự thay đổi vị trí phải tính đến việc di chuyển theo hướng âm. Một diện tích phía trên trục (t) được coi là dương vì nó biểu thị khoảng cách đã đi theo hướng dương, trong khi một diện tích phía dưới trục (t) được xem là âm vì nó biểu thị việc di chuyển theo hướng âm. Do đó, sự thay đổi vị trí của người phụ nữ là

[ s(3) – s(0) = (+4.5) + (-2) + (+3) = 5.5 text{dặm}text{.} nonumber ]

Nói cách khác, người phụ nữ đi bộ 4,5 dặm theo hướng dương, sau đó là hai dặm theo hướng âm và sau đó là 3 dặm nữa theo hướng dương.

Vận tốc âm cũng được thấy trong đồ thị của hàm vị trí (y=s(t)). Độ dốc của nó là âm (cụ thể là (-4)) trên khoảng (1.5lt tlt 2) vì vận tốc là (-4) trên khoảng đó. Độ dốc âm cho thấy hàm vị trí đang giảm vì người phụ nữ đang đi bộ về phía đông, thay vì phía tây.

Tóm lại, chúng ta thấy rằng nếu vận tốc đôi khi là âm, sự thay đổi vị trí của một vật thể chuyển động khác với quãng đường nó đi được. Nếu chúng ta tính riêng quãng đường đã đi trên mỗi khoảng thời gian mà vận tốc là dương hoặc âm, chúng ta có thể tính tổng quãng đường đã đi hoặc tổng sự thay đổi vị trí. Chúng ta gán một giá trị âm cho khoảng cách đã đi theo hướng âm khi chúng ta tính sự thay đổi vị trí, nhưng một giá trị dương khi chúng ta tính tổng quãng đường đã đi.

5.1. Hoạt Động

Giả sử một vật thể chuyển động dọc theo một đường thẳng có vận tốc (v) (tính bằng mét trên giây) tại thời điểm (t) (tính bằng giây) được cho bởi hàm tuyến tính từng khúc có đồ thị được vẽ ở bên trái trong Hình (PageIndex{8}). Chúng ta xem chuyển động sang phải là theo hướng dương (với vận tốc dương), trong khi chuyển động sang trái là theo hướng âm.

Alt text: Đồ thị vận tốc tuyến tính từng khúc theo thời gian.

Hình (PageIndex{8}). Hàm vận tốc của một vật thể chuyển động.

Giả sử thêm rằng vị trí ban đầu của vật thể tại thời điểm (t = 0) là (s(0) = 1).

Xác định tổng quãng đường đã đi và tổng sự thay đổi vị trí trên khoảng thời gian (0 le t le 2). Vị trí của vật thể tại (t = 2) là gì?
Vật thể chuyển động tăng vị trí trên những khoảng thời gian nào? Tại sao? Vật thể giảm vị trí trên những khoảng thời gian nào? Tại sao?
Vị trí của vật thể tại (t = 8) là gì? Nó đã đi được bao nhiêu mét để đến điểm này (bao gồm cả khoảng cách theo cả hai hướng)? Điều này có khác với tổng sự thay đổi vị trí của vật thể trên (t = 0) đến (t = 8) không?
Tìm vị trí chính xác của vật thể tại (t = 1, 2, 3, ldots, 8) và sử dụng dữ liệu này để phác thảo một đồ thị chính xác của (y = s(t)) trên các trục được cung cấp ở bên phải trong Hình (PageIndex{1})10. Bạn có thể sử dụng thông tin được cung cấp về (y = v(t)) để xác định độ lõm của (s) trên mỗi khoảng thời gian liên quan như thế nào?

6. Tóm Tắt

Nếu chúng ta biết vận tốc của một vật thể chuyển động tại mọi điểm trong một khoảng thời gian nhất định và vận tốc là dương trong suốt, chúng ta có thể ước tính quãng đường đã đi của vật thể và trong một số trường hợp, xác định giá trị này một cách chính xác.
Đặc biệt, khi vận tốc là dương trên một khoảng thời gian, chúng ta có thể tìm tổng quãng đường đã đi bằng cách tìm diện tích dưới đường cong vận tốc và phía trên trục (t) trên khoảng thời gian đã cho. Chúng ta chỉ có thể ước tính diện tích này, tùy thuộc vào hình dạng của đường cong vận tốc.
Một antiderivative của một hàm số (f) là một hàm số mới (F) có đạo hàm là (f). Đó là, (F) là một antiderivative của (f) với điều kiện (F’ = f). Trong ngữ cảnh của vận tốc và vị trí, nếu chúng ta biết một hàm vận tốc (v), một antiderivative của (v) là một hàm vị trí (s) thỏa mãn (s’ = v). Nếu (v) là dương trên một khoảng thời gian nhất định, chẳng hạn như ([a,b]), thì sự thay đổi vị trí, (s(b) – s(a)), đo quãng đường mà vật thể chuyển động đã đi trên ([a,b]).
Nếu vận tốc của nó đôi khi là âm, một vật thể chuyển động đôi khi di chuyển theo hướng ngược lại hoặc quay lui. Để xác định quãng đường đã đi, chúng ta phải tính riêng khoảng cách trên các khoảng thời gian mà vận tốc là dương hoặc âm và tính sự thay đổi vị trí trên mỗi khoảng thời gian như vậy.

7. FAQ – Câu Hỏi Thường Gặp

Làm thế nào để tính tổng quãng đường đã đi khi vận tốc là hằng số?

Khi vận tốc là hằng số, tổng quãng đường đã đi được tính bằng công thức:
Quãng đường = Vận tốc × Thời gian
Làm thế nào để tính tổng quãng đường đã đi khi vận tốc thay đổi?

Khi vận tốc thay đổi, có hai phương pháp chính:
- Sử dụng diện tích dưới đường cong vận tốc: Chia khoảng thời gian thành các khoảng nhỏ, tính diện tích của mỗi khoảng (xấp xỉ bằng hình chữ nhật), và cộng lại.
- Tìm antiderivative của hàm vận tốc: Tìm hàm vị trí (s(t)) sao cho (s'(t) = v(t)), sau đó tính sự thay đổi vị trí (s(b) – s(a)) trên khoảng thời gian ([a, b].
Điều gì xảy ra khi vận tốc âm?

Khi vận tốc âm, vật thể đang di chuyển theo hướng ngược lại. Để tính tổng quãng đường đã đi, bạn cần chia khoảng thời gian thành các khoảng mà vận tốc dương và âm, tính quãng đường đã đi trong mỗi khoảng (lấy giá trị tuyệt đối của vận tốc trong khoảng âm), sau đó cộng lại.
Antiderivative là gì?

Antiderivative của một hàm (f(x)) là một hàm (F(x)) sao cho đạo hàm của (F(x)) bằng (f(x)), tức là (F'(x) = f(x)).
Tại sao antiderivative lại quan trọng trong việc tính quãng đường đã đi?

Nếu bạn biết hàm vận tốc (v(t)), bạn có thể tìm hàm vị trí (s(t)) bằng cách tìm antiderivative của (v(t)). Sau đó, bạn có thể tính quãng đường đã đi bằng cách tìm sự thay đổi vị trí giữa hai thời điểm.
Làm thế nào để ước tính diện tích dưới đường cong vận tốc?

Bạn có thể sử dụng các hình chữ nhật để ước tính diện tích dưới đường cong vận tốc. Chia khoảng thời gian thành các khoảng nhỏ và vẽ một hình chữ nhật trên mỗi khoảng với chiều cao bằng giá trị của hàm vận tốc tại một điểm trong khoảng đó (ví dụ: điểm cuối bên trái, điểm cuối bên phải hoặc điểm giữa). Sau đó, tính tổng diện tích của các hình chữ nhật.
Diện tích dưới đường cong vận tốc biểu thị điều gì?

Diện tích dưới đường cong vận tốc biểu thị tổng quãng đường đã đi của vật thể trong khoảng thời gian tương ứng.
Làm thế nào để tìm antiderivative của một hàm số?

Tìm antiderivative thường liên quan đến việc sử dụng các quy tắc tính tích phân. Ví dụ, antiderivative của (x^n) là (frac{x^{n+1}}{n+1} + C), trong đó (C) là hằng số tích phân.
Nếu tôi biết vận tốc trung bình, làm thế nào để tính tổng quãng đường đã đi?

Nếu bạn biết vận tốc trung bình, bạn có thể tính tổng quãng đường đã đi bằng cách nhân vận tốc trung bình với thời gian:
Quãng đường = Vận tốc trung bình × Thời gian
Tôi có thể sử dụng công cụ trực tuyến nào để tính quãng đường đã đi?

Có nhiều công cụ và máy tính trực tuyến có thể giúp bạn tính toán quãng đường đã đi, diện tích dưới đường cong và tìm antiderivative. Bạn cũng có thể sử dụng các nền tảng đăng ký trực tuyến như click2register.net để quản lý và theo dõi các sự kiện hoặc hoạt động liên quan đến quãng đường và vị trí.

8. Kết Luận

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tìm tổng quãng đường đã đi. Bằng cách nắm vững các khái niệm và phương pháp tính toán, bạn có thể dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan đến chuyển động và quãng đường. Nếu bạn đang tìm kiếm một nền tảng đăng ký trực tuyến dễ sử dụng cho